[논문 리뷰](Reading) A Monte Carlo Formulation of Bogoliubov Theory (2000)

논문 정보

핵심 아이디어

NCB와 TWA를 사용해 finite temperature Bose gas를 brownian motion으로 계산함.

논문 내용

Introduction

GP equation은 condensate와 noncondensed particles 사이의 상호작용을 무시해서 구한다. 이는 transition temperature 보다 아주 낮은 저온에서 그럴싸한 이야기다. 하지만 실제로는 상호작용을 무시할 수 없는 경우들이 있다.

• Time-dependent properties:
  • modulation of trapping potential에 의해 유도된 collective modes
  • thermdynamically unstable states like vortices or dark solitons
• Time-independent properties:
  • theremal equilibrium properties:
    • spatial density of noncondensed particles
    • thermal fluctuations of number of condensed particles

저온에서는 Bogoliubov Theory 사용 – 이 방법은 noncondensate particle을 기술하는 field operator의 quadratization과 Bogoliubov transformation에 의존. 더 큰 온도범위에서는 Hatree-Fock-Bogoliubov (HFB) method사용 – system density의 Gaussian ansatz에 기반한 variational method.

일반적으론 계산이 너무 복잡함. Alternative formulation of Bogoliubov theory is given here. 특징 : Wigner representation of density matrix에 의존. finite temperature에서 system의 steady-state Wigner distribution을 sample하기 위한 Monte Carlo simulation에 위존. 이 방법은 Gaussian density operator를 sample하도록 해주기 때문에, thermal equilibrium 또는 time dependent에서 Bogoliubov와 HFB 모두 적용할 수 있다.

Bogoliubov theory conserving the total number of particles

여기서는 짧게 NCB를 소개한다. 해밀토니안은 \(H =\int \mathrm{d}^3r \hat{\Psi}^\dagger\Big(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U\Big)\hat{\Psi} +\frac{g}{2}\hat{\Psi}^{\dagger2}\hat{\Psi}^2\) 여기서 one-body density operator $\rho_1$에 대해 가장 큰 eigenvalue $N_0$를 갖는 state를 $|\phi_{\rm ex}\rangle$이라고 하자: \(\rho_1|\phi_{\rm ex}\rangle = N_0|\phi_{\rm ex}\rangle\) BEC가 존재한다고 가정하자, 그러면 $\phi_{\rm ex}$눈 condensate wavefuction이고, $N_0\simeq N$. Field operator $\hat{\Psi}$를 condensate와 noncondensed modes의 합으로 쪼개자: \(\hat{\Psi} = \phi_{\rm ex}\hat{a}_{\rm ex}+\hat{\psi}\) 여기서 $\hat{a}_{\rm ex}$는 condensate particle annihilation operator.