[논문 리뷰](Reading) Classical-Field Method for Time Dependent Bose-Einstein Condensed Gases (2001)

Created on June 01, 2026

2026   ·   Truncated Wigner Approximation   BEC   NCB   Thermal Equilibrium   ·   papers

논문 정보

항목 내용
제목 Classical-Field Method for Time Dependent Bose-Einstein Condensed Gases
저자 A. Sinatra, Y. Castin, C. Lobo
저널 Physical Review Letters 87, 210404 (2001).
DOI 10.1103/PhysRevLett.87.210404

핵심 아이디어

초기 thermal equilibrium에서 perturbed 된 BEC의 time evolution을 $N$-body density operator의 Wigner represention을 이용해 표현. 어떻게 NCB안에서 Wigner distribution을 샘플링하는 random classical fields를 얻을 수 있는지 알려준다.

특징:

  • time-independent인 경우에는 NCB와 완전히 동등.
  • time-dependent인 경우에는 Bogoliubov approach와는 다르게, classical field evolution이 condensate 및 noncondensate 모두 nonlinear하기 때문에, 더 긴 시간동안 적용 가능하다.

특징:

  • large occupation number를 가진 modes에서는 quantum noise가 initial state의 classical noise로 잘 대응되기 때문에 Wigner representation이 가장 잘 맞음.
  • 그리고 심지어, small occupation number modes라도, Hamiltonian이 quadratic approximation으로 잘 근사되면 유효하다.

논문 내용

NCB

Field operator를 condensate와 orthogonal part로 쪼개기

일단 Bose-gas의 (normalised) field operator를 다음과 같이 써준다:

\[\hat{\Psi}(\vec{r}) = \phi(\vec{r})\hat{a}_\phi+\hat{\psi}(\vec{r}).\]

여기서 condensate annihilation operator \(\hat{a}_\phi\)를 condensate phase operator \(\hat{A}_\phi\)와 condensate number operator \(\hat{N}_0\)를 이용해 표현한다:

\[\hat{a}_\phi = \hat{A}_\phi\hat{N}_0^{1/2}\]

condensate phase operator는 거의 unitary이다: \(\hat{A}_\phi^\dagger\hat{A}_\phi + |0\rangle\langle0| = \hat{A}_\phi^\dagger\hat{A}_\phi = \mathbb{1}\) 그리고 이는 noncondensate \(\hat{\psi}\)와도 commute.

총 입자수가 보존되려면 condensate가 하나 늘어나면 noncondensate가 하나 줄어들어야 한다. 따라서, \(\Lambda = \hat{A}_\phi^\dagger\hat{\psi}\)를 가지고 이야기한다.

zeroth order에서 나오는 GP Hamiltonian은

\[H_{\rm GP} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U+gN|\phi|^2-\mu\]

quadratic Hamiltonian은

\[\hat{H}_{\rm quad} = \int \mathrm{d}^3\vec{r} \frac{1}{2} \mathbb{\Lambda}\mathcal{L}\mathbb{\Lambda}\]

여기서

\[\mathcal{L} = \begin{pmatrix} H_{\rm GP}+ QgN|\phi|^2Q & QgN\phi^2Q^* \\ -Q^*gN\phi^{*2}Q & -(H_{\rm GP}+ QgN|\phi|^2Q)^* \end{pmatrix}\]
$$ Q = \mathbb{1}- \phi\rangle\langle\phi $$는 projection operator이다.

Wigner Distribution

Wigner function은 density operator의 Wigner-Weyl representation이니까 먼저 density operator를 정한다. \(t=0\)에서 thermal equailibrium이니까, 이때 density operator는

\[\hat{sigma}(t=0) \simeq \frac{1}{Z}\exp\Big[-\beta\hat{H}_{\rm quad}\Big].\]

여기서는 characteristic function을 계산하고, 그것의 Fourier transform을 통해 Wigner function을 계산한다.

\[\begin{aligned} \chi(\gamma) &= \tr[\hat{\sigma}\exp[\int\gamma\hat{\Psi}^\dagger-\gamma^*\hat{\Psi}]]\\ &= = \frac{1}{2}\langle \{\mathrm{e}^{\gamma_\parallel\hat{N}_0^{1/2}-\mathrm{H.c}},\mathrm{e}^{\int\gamma_\bot\hat{\Lambda}^\dagger\hat{A}_\phi}^\dagger-\mathrm{H.c.}\}. \end{aligned}\]

이때, \(\{\,,\,\}\)s는 anticommutator.

\(\hat{A}_\phi\)와 \(\chi\) 안의 다른 operator 들이 commute하도록 해주면, \(U(1)\)-symmetry를 보존하는 형태로 Wigner function을 얻을 수 있다:

$$ W(\Psi) \simeq \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi} W_0(\Psi \mathrm{e}^{i\theta})

개인 메모

\(\hat{A}\)를 phase operator로 가정하면 찝찝한 점이 있다. 대표적으로 위에서 \(\Lambda\) 에서 condensate를 하나 줄이려면 commute 하면 안된다.

\(Q\)는 Hermitian 이기 때문에, \(H_{\rm quad}\)는 \(\sigma_3\)-pseudo-Hermitian이다. (\(\sigma_3\)는 늘 사용하는 Pauli operator.)